Czy trzy punkty leżą na jednej prostej? Współliniowość z równania kierunkowego

Krok 1. Kryterium. Trzy punkty leżą na jednej prostej (są współliniowe), gdy prosta przez dwa pierwsze ma ten sam współczynnik kierunkowy co prosta przez drugi i trzeci - wtedy obie proste mają wspólny punkt i ten sam kierunek, więc się pokrywają.

Krok 2. Punkty $K$, $L$, $M$.

$$a_{KL} = \frac{2 - (-4)}{1 - (-3)} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \qquad a_{LM} = \frac{9 - 2}{5 - 1} = \frac{7}{4}.$$

Współczynniki są różne: $\frac{3}{2} = \frac{6}{4} \ne \frac{7}{4}$. Punkty nie są współliniowe.

Krok 3. Kontrola równaniem. Prosta $KL$: $y - 2 = \frac{3}{2}(x - 1)$, czyli $y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$. Dla $x = 5$ daje $y = \frac{15}{2} + \frac{1}{2} = 8$, a punkt $M$ ma drugą współrzędną $9$ - leży o jednostkę wyżej. Na szkicu „na oko” łatwo się tu pomylić, rachunek rozstrzyga.

Krok 4. Prosta $AB$ w części b).

$$a_{AB} = \frac{-2 - 4}{2 - (-1)} = \frac{-6}{3} = -2, \qquad y - 4 = -2(x + 1) \quad\Longrightarrow\quad y = -2x + 2.$$

Kontrola punktem $B$: $-4 + 2 = -2$ - zgadza się.

Krok 5. Punkt $C$ na prostej $AB$. Podstawiamy $C = (m, -8)$:

$$-8 = -2m + 2 \quad\Longrightarrow\quad 2m = 10 \quad\Longrightarrow\quad m = 5.$$

Krok 6. Sprawdzenie. Dla $C = (5, -8)$: $a_{BC} = \frac{-8 - (-2)}{5 - 2} = \frac{-6}{3} = -2 = a_{AB}$.

Odpowiedź. a) Punkty $K$, $L$, $M$ nie leżą na jednej prostej. b) $m = 5$.