Kąt nachylenia prostej przez dwa punkty - kąt ostry i kąt rozwarty

Krok 1. Związek współczynnika z kątem. Kąt nachylenia $\alpha$ prostej do osi $OX$ spełnia $\operatorname{tg} \alpha = a$, gdzie $a$ to współczynnik kierunkowy, a sam kąt leży w przedziale $0^\circ \le \alpha < 180^\circ$. Wystarczy więc policzyć $a$ z ilorazu przyrostów.

Krok 2. Prosta $AB$.

$$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{6 - 2}{3 - (-1)} = \frac{4}{4} = 1.$$

Zatem $\operatorname{tg} \alpha = 1$, czyli $\alpha = 45^\circ$. Równanie prostej: $y - 2 = 1 \cdot (x + 1)$, czyli $y = x + 3$.

Krok 3. Prosta $CD$ - współczynnik.

$$a = \frac{-\sqrt{3} - 2\sqrt{3}}{2 - (-1)} = \frac{-3\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3}.$$

Krok 4. Kąt rozwarty. Współczynnik jest ujemny, więc prosta opada, a kąt nachylenia jest rozwarty. Kąt ostry o tangensie $\sqrt{3}$ to $60^\circ$, a $\operatorname{tg}(180^\circ - \beta) = -\operatorname{tg} \beta$, zatem

$$\alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ, \qquad \operatorname{tg} 120^\circ = -\sqrt{3}.$$

Równanie prostej: $y - 2\sqrt{3} = -\sqrt{3}(x + 1)$, czyli $y = -\sqrt{3}x + \sqrt{3}$. Kontrola punktem $D$: $-2\sqrt{3} + \sqrt{3} = -\sqrt{3}$ - zgadza się.

Uwaga. Kalkulator dla $\operatorname{tg} \alpha = -\sqrt{3}$ poda $-60^\circ$. Kąt nachylenia prostej nie bywa ujemny - trzeba dodać $180^\circ$.

Odpowiedź. a) $\alpha = 45^\circ$, b) $\alpha = 120^\circ$.