Prosta przez punkt nachylona pod kątem 135° i pod kątem 30° - równanie kierunkowe

Krok 1. Plan. Współczynnik kierunkowy to tangens kąta nachylenia: $a = \operatorname{tg} \alpha$. Mając $a$ i punkt $(x_0, y_0)$, korzystamy ze wzoru $y - y_0 = a(x - x_0)$.

Krok 2. Współczynnik prostej $k$. Kąt $135^\circ$ jest rozwarty, więc tangens jest ujemny:

$$a = \operatorname{tg} 135^\circ = -\operatorname{tg} 45^\circ = -1.$$

Krok 3. Równanie prostej $k$.

$$y - 1 = -1 \cdot (x + 3) \quad\Longrightarrow\quad y = -x - 2.$$

Kontrola punktem $P$: $-(-3) - 2 = 1$ - zgadza się. Prosta $k$ przecina oś $OY$ w punkcie $(0, -2)$.

Krok 4. Współczynnik prostej $l$.

$$a = \operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Krok 5. Równanie prostej $l$. Mnożymy $\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{3} = 1$:

$$y - 2 = \frac{\sqrt{3}}{3}\left(x - \sqrt{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}x - 1 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 1.$$

Kontrola punktem $Q$: $\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} + 1 = 1 + 1 = 2$ - zgadza się. Prosta $l$ przecina oś $OY$ w punkcie $(0, 1)$.

Uwaga. Częsty błąd to $\operatorname{tg} 135^\circ = 1$. Kąt rozwarty zawsze daje ujemny współczynnik kierunkowy - prosta opada.

Odpowiedź. a) $k\colon y = -x - 2$, przecina oś $OY$ w $(0, -2)$; b) $l\colon y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 1$, przecina oś $OY$ w $(0, 1)$.