Prosta przez punkt (3, 2) odcinająca od pierwszej ćwiartki trójkąt o polu 16

Krok 1. Postać prostej. Prosta pionowa $x = 3$ nie przecina osi $OY$, więc szukana prosta ma współczynnik kierunkowy $a$:

$$y - 2 = a(x - 3) \quad\Longrightarrow\quad y = ax + 2 - 3a.$$

Krok 2. Punkty przecięcia z osiami. Dla $x = 0$: $y = 2 - 3a$. Dla $y = 0$ (przy $a \ne 0$): $ax = 3a - 2$, czyli $x = 3 - \frac{2}{a}$.

Krok 3. Znak współczynnika. Oba punkty mają leżeć na dodatnich półosiach. Gdyby $a > 0$, z $2 - 3a > 0$ mielibyśmy $a < \frac{2}{3}$, a z $3 - \frac{2}{a} > 0$ - $a > \frac{2}{3}$; sprzeczność. Prosta pozioma ($a = 0$) nie przecina osi $OX$. Zatem $a < 0$ - i wtedy oba wyrażenia są dodatnie.

Krok 4. Równanie z polem. Trójkąt jest prostokątny, przyprostokątne leżą na osiach:

$$\frac{1}{2}\,(2 - 3a)\left(3 - \frac{2}{a}\right) = 16.$$

Mnożymy obie strony przez $2a$ (uwaga: $a < 0$, ale to równanie, nie nierówność):

$$(2 - 3a)(3a - 2) = 32a \quad\Longrightarrow\quad -9a^2 + 12a - 4 = 32a \quad\Longrightarrow\quad 9a^2 + 20a + 4 = 0.$$

Krok 5. Rozwiązanie.

$$\Delta = 400 - 144 = 256, \qquad a_1 = \frac{-20 - 16}{18} = -2, \qquad a_2 = \frac{-20 + 16}{18} = -\frac{2}{9}.$$

Oba współczynniki są ujemne, więc oba się nadają.

Krok 6. Równania i kontrola.

• $a = -2$: $y = -2x + 8$, przecina osie w $(0, 8)$ i $(4, 0)$, pole $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16$.
• $a = -\frac{2}{9}$: $b = 2 + \frac{6}{9} = \frac{8}{3}$, czyli $y = -\frac{2}{9}x + \frac{8}{3}$; przecina osie w $\left(0, \frac{8}{3}\right)$ i $(12, 0)$, pole $\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{8}{3} = 16$.

Ciekawostka. Pole jako funkcja współczynnika to $\frac{(3a - 2)^2}{-2a}$ dla $a < 0$. Najmniejszą wartość, $12$, przyjmuje dla $a = -\frac{2}{3}$ - wtedy $P$ jest środkiem odcinka odciętego przez osie. Dla pola mniejszego niż $12$ takiej prostej nie ma, dla pola $12$ jest jedna, a dla większego - dwie.

Odpowiedź. $y = -2x + 8$ lub $y = -\frac{2}{9}x + \frac{8}{3}$.