Prosta y = (m − 1)x + m² z parametrem - przez punkt i pod kątem rozwartym

Krok 1. Warunek kąta rozwartego. Kąt nachylenia jest rozwarty dokładnie wtedy, gdy jego tangens - czyli współczynnik kierunkowy - jest ujemny:

$$m - 1 < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad m < 1.$$

Dla $m = 1$ prosta jest pozioma (kąt $0^\circ$), a dla $m > 1$ kąt jest ostry.

Krok 2. Warunek punktu. Podstawiamy $x = -1$, $y = 3$:

$$3 = (m - 1) \cdot (-1) + m^2 \quad\Longrightarrow\quad m^2 - m + 1 - 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m^2 - m - 2 = 0.$$

Krok 3. Rozwiązanie równania kwadratowego.

$$\Delta = 1 + 8 = 9, \qquad m_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1, \qquad m_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2.$$

Krok 4. Część wspólna warunków. Z liczb $-1$ i $2$ warunek $m < 1$ spełnia tylko $m = -1$. Wtedy prosta ma równanie $y = -2x + 1$; kontrola: $-2 \cdot (-1) + 1 = 3$.

Wartość $m = 2$ też daje prostą przez $P$ - jest to $y = x + 4$ - ale ona tworzy z osią kąt $45^\circ$ (bo $\operatorname{tg} \alpha = 1$), więc ją odrzucamy.

Krok 5. Część b) - kąt $135^\circ$. Potrzebny jest współczynnik $\operatorname{tg} 135^\circ = -1$:

$$m - 1 = -1 \quad\Longrightarrow\quad m = 0, \qquad y = -x + 0 = -x.$$

Dla $x = -1$ ta prosta daje $y = 1 \ne 3$, więc przez punkt $P$ nie przechodzi. To zgadza się z częścią a): jedyna prosta z rodziny przechodząca przez $P$ pod kątem rozwartym ma współczynnik $-2$, a nie $-1$.

Uwaga. Warunek przejścia przez punkt sam nie wystarcza - dał dwa kandydaty, z których jeden odpada przez kąt. W zadaniach z parametrem zawsze bierzemy część wspólną wszystkich warunków.

Odpowiedź. a) $m = -1$ (prosta $y = -2x + 1$); b) $m = 0$, prosta $y = -x$ nie przechodzi przez punkt $P$.