Trójkąt odcięty od osi przez prostą nachyloną pod kątem 120° - pole i obwód

Krok 1. Współczynnik kierunkowy. Kąt jest rozwarty, więc

$$a = \operatorname{tg} 120^\circ = -\operatorname{tg} 60^\circ = -\sqrt{3}.$$

Krok 2. Równanie prostej $k$.

$$y - 3 = -\sqrt{3}\left(x - \sqrt{3}\right) = -\sqrt{3}x + 3 \quad\Longrightarrow\quad y = -\sqrt{3}x + 6.$$

Kontrola punktem $P$: $-\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 6 = -3 + 6 = 3$ - zgadza się.

Krok 3. Punkty przecięcia z osiami. Dla $x = 0$: $y = 6$, czyli $B = (0, 6)$. Dla $y = 0$:

$$-\sqrt{3}x + 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}, \qquad A = (2\sqrt{3}, 0).$$

Krok 4. Pole. Trójkąt $OAB$ jest prostokątny, przyprostokątne leżą na osiach: $|OA| = 2\sqrt{3}$, $|OB| = 6$.

$$P_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 6 = 6\sqrt{3}.$$

Krok 5. Przeciwprostokątna i obwód.

$$|AB| = \sqrt{\left(2\sqrt{3}\right)^2 + 6^2} = \sqrt{12 + 36} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3},$$

$$L = 2\sqrt{3} + 6 + 4\sqrt{3} = 6 + 6\sqrt{3}.$$

Krok 6. Kontrola kątem. Kąt trójkąta przy wierzchołku $A$ to $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$, więc $OAB$ to „połówka trójkąta równobocznego” o kątach $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$. Krótsza przyprostokątna (przy kącie $60^\circ$) to $2\sqrt{3}$, dłuższa powinna być $\sqrt{3}$ razy dłuższa: $2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6$, a przeciwprostokątna dwa razy dłuższa: $4\sqrt{3}$. Wszystko się zgadza.

Odpowiedź. Pole trójkąta wynosi $6\sqrt{3}$, a obwód $6 + 6\sqrt{3} = 6\left(1 + \sqrt{3}\right)$.