Kąt między prostymi y = √3x + 2 i y = −x + 4 z kątów nachylenia

Krok 1. Kąty nachylenia. Dla $k$: $\operatorname{tg} \alpha_k = \sqrt{3}$, więc $\alpha_k = 60^\circ$. Dla $l$: $\operatorname{tg} \alpha_l = -1$ - współczynnik ujemny, kąt rozwarty: $\alpha_l = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Krok 2. Trójkąt z osią $OX$. Prosta $k$ przecina oś $OX$ w punkcie $K$, a prosta $l$ - w punkcie $L$:

$$\sqrt{3}x + 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}, \qquad -x + 4 = 0 \;\Rightarrow\; x = 4.$$

Proste tworzą z osią trójkąt $KLS$. Kąt przy $K$ to kąt nachylenia prostej $k$, czyli $60^\circ$. Kąt przy $L$ leży po drugiej stronie prostej $l$ i dopełnia jej kąt nachylenia do $180^\circ$: $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Krok 3. Kąt między prostymi. Z sumy kątów trójkąta:

$$\sphericalangle KSL = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ.$$

To samo daje różnica kątów nachylenia: $135^\circ - 60^\circ = 75^\circ$. Kąt jest ostry, więc to szukany kąt między prostymi.

Krok 4. Punkt przecięcia. Porównujemy prawe strony równań:

$$\sqrt{3}x + 2 = -x + 4 \quad\Longrightarrow\quad x\left(\sqrt{3} + 1\right) = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2\left(\sqrt{3} - 1\right)}{3 - 1} = \sqrt{3} - 1.$$

Wtedy $y = -\left(\sqrt{3} - 1\right) + 4 = 5 - \sqrt{3}$. Kontrola w równaniu $k$: $\sqrt{3}\left(\sqrt{3} - 1\right) + 2 = 3 - \sqrt{3} + 2 = 5 - \sqrt{3}$ - zgadza się.

Uwaga. Gdyby różnica kątów nachylenia wyszła większa niż $90^\circ$ (np. $150^\circ$), kątem między prostymi byłby kąt do niej przyległy: $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Proste tworzą dwie pary kątów i za kąt między nimi przyjmuje się ten nierozwarty.

Ten sam kąt da się policzyć bez rysunku, wprost ze współczynników kierunkowych - wzorem na tangens kąta między prostymi albo z cosinusa kąta między wektorami normalnymi. Takie zadania zebraliśmy w typie kąt między prostymi.

Odpowiedź. a) $\alpha_k = 60^\circ$, $\alpha_l = 135^\circ$; b) $75^\circ$; c) $S = \left(\sqrt{3} - 1,\ 5 - \sqrt{3}\right)$.