Brakująca liczebność klasy, gdy znana jest średnia z szeregu rozdzielczego

Szkoła średnia trudne

W tabeli przedstawiono czas (w minutach) oczekiwania klientów na obsługę. Liczebność drugiej klasy jest nieznana.

Czas [min]	[0, 10)	[10, 20)	[20, 30)	[30, 40)
Liczba klientów	4	k	10	6

Średni czas oczekiwania obliczony ze środków klas wynosi $21$ minut. Wyznacz $k$ .

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Środki klas: $5, 15, 25, 35$ . Liczba klientów: $4 + k + 10 + 6 = 20 + k$ .

Krok 2. Równanie średniej:

$\frac{5 \cdot 4 + 15k + 25 \cdot 10 + 35 \cdot 6}{20 + k} = 21.$

Krok 3. Licznik: $20 + 15k + 250 + 210 = 480 + 15k$ . Mnożymy obie strony przez $20 + k$ :

$480 + 15k = 21 \cdot (20 + k) = 420 + 21k.$

Krok 4. Rozwiązujemy:

$480 - 420 = 21k - 15k \quad \Longrightarrow \quad 60 = 6k \quad \Longrightarrow \quad k = 10.$

Krok 5. Sprawdzenie: klientów jest $30$ , a

$\bar{x} = \frac{20 + 150 + 250 + 210}{30} = \frac{630}{30} = 21.$

Odpowiedź. $k = 10$ .