Decybele - ile razy głośniej przy +20 dB i ile głośników daje 82 dB?

Szkoła średnia średnie

Poziom natężenia dźwięku w decybelach (dB) obliczamy ze wzoru

$L = 10 \cdot \log \frac{I}{I_0},$

gdzie $I$ to natężenie dźwięku, a $I_0 = 10^{-12}$ W/m² - najcichszy dźwięk słyszalny dla człowieka.

a) Ile razy wzrasta natężenie dźwięku, gdy jego poziom rośnie o $20$ dB?

b) Jeden głośnik daje w danym miejscu poziom $70$ dB. Natężenia dźwięku z identycznych głośników się sumują. O ile decybeli wzrośnie poziom, gdy włączymy dwa takie głośniki?

c) Ile co najmniej takich głośników trzeba włączyć, żeby poziom wyniósł co najmniej $82$ dB?

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Część a) - różnica poziomów. Dla natężeń $I_1$ i $I_2$ z prawa logarytmu ilorazu:

$L_2 - L_1 = 10\log\frac{I_2}{I_0} - 10\log\frac{I_1}{I_0} = 10 \log \frac{I_2}{I_1}.$

Dla $L_2 - L_1 = 20$ mamy $\log \frac{I_2}{I_1} = 2$ , czyli $\frac{I_2}{I_1} = 10^{2} = 100$ .

Krok 2. Część b). Dwa głośniki to podwojone natężenie, $\frac{I_2}{I_1} = 2$ :

$L_2 - L_1 = 10 \log 2 \approx 10 \cdot 0{,}301 \approx 3{,}01 \text{ dB}.$

Podwojenie natężenia daje tylko około $3$ dB więcej - a nie dwa razy więcej decybeli.

Krok 3. Część c) - nierówność. $n$ głośników daje natężenie $n$ razy większe, więc poziom $70 + 10 \log n$ . Ma być:

$70 + 10\log n \geq 82 \quad\Longrightarrow\quad \log n \geq 1{,}2 \quad\Longrightarrow\quad n \geq 10^{1{,}2} \approx 15{,}85.$

Krok 4. Sprawdzenie sąsiednich liczb. $15$ głośników: $70 + 10\log 15 \approx 81{,}76$ dB - za mało. $16$ głośników: $70 + 10 \log 16 \approx 82{,}04$ dB - wystarczy.

Odpowiedź. a) $100$ razy. b) O około $3$ dB (do około $73$ dB). c) Co najmniej $16$ głośników.

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →