Jak obliczyć okres połowicznego rozpadu? Po 12 dniach zostało 35% izotopu

Krok 1. Model z niewiadomym okresem. Jeśli okres połowicznego rozpadu wynosi $T$ dni, to po $t$ dniach zostaje część

$\frac{m(t)}{m_0} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T}.$

Krok 2. Równanie z danych. Dla $t = 12$ zostało $0{,}35$:

$\left(\tfrac{1}{2}\right)^{12/T} = 0{,}35.$

Krok 3. Logarytmujemy - tym razem logarytmem naturalnym (równie dobry jest dziesiętny):

$\frac{12}{T} \cdot \ln 0{,}5 = \ln 0{,}35 \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{12 \cdot \ln 0{,}5}{\ln 0{,}35} \approx \frac{12 \cdot (-0{,}6931)}{-1{,}0498} \approx 7{,}92.$

Sprawdzenie sensu. Po jednym okresie zostaje $50\%$, po dwóch $25\%$. Zostało $35\%$, czyli minęło między jednym a dwoma okresami: $\frac{12}{7{,}92} \approx 1{,}5$. Zgadza się.

Krok 4. Część b). Szukamy najmniejszego pełnego $t$, dla którego $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T} < 0{,}05$. Wygodniej użyć wprost danych z treści: skoro co $12$ dni zostaje $35\%$, to $\frac{m(t)}{m_0} = 0{,}35^{t/12}$. Logarytmujemy; logarytm $\ln 0{,}35$ jest ujemny, więc przy dzieleniu przez niego znak nierówności się odwraca:

$\frac{t}{12} \cdot \ln 0{,}35 < \ln 0{,}05 \quad\Longrightarrow\quad t > \frac{12 \cdot \ln 0{,}05}{\ln 0{,}35} \approx 34{,}24.$

Krok 5. Sprawdzenie sąsiednich dni. Po $34$ dniach zostaje $0{,}35^{34/12} \approx 5{,}1\%$ - jeszcze nie mniej niż $5\%$. Po $35$ dniach zostaje około $4{,}7\%$.

Odpowiedź. a) $T \approx 7{,}92$ dnia. b) Po 35 pełnych dniach.