Lek w organizmie - po ilu godzinach stężenie spadnie poniżej 20% dawki?

Krok 1. Model. Spadek o $15\%$ oznacza, że co godzinę zostaje $85\%$ poprzedniej ilości. Po $n$ godzinach we krwi jest

$m(n) = 400 \cdot 0{,}85^{n} \text{ mg}.$

Krok 2. Nierówność. Mniej niż $20\%$ dawki to mniej niż $0{,}2 \cdot 400$:

$400 \cdot 0{,}85^{n} < 0{,}2 \cdot 400 \quad\Longrightarrow\quad 0{,}85^{n} < 0{,}2.$

Krok 3. Logarytmujemy. Logarytm dziesiętny jest rosnący, więc po zlogarytmowaniu znak zostaje:

$n \cdot \log 0{,}85 < \log 0{,}2.$

Teraz dzielimy przez $\log 0{,}85 \approx -0{,}07058$ - liczbę ujemną. Znak nierówności się odwraca:

$n > \frac{\log 0{,}2}{\log 0{,}85} \approx \frac{-0{,}69897}{-0{,}07058} \approx 9{,}90.$

To najczęstsze miejsce błędu: kto zapomni odwrócić znak, dostanie bezsensowne „$n < 9{,}90$”.

Krok 4. Sprawdzenie sąsiednich godzin. $0{,}85^{9} \approx 0{,}2316$ - po 9 godzinach zostaje jeszcze $23{,}2\%$ dawki. $0{,}85^{10} \approx 0{,}1969$ - po 10 godzinach już $19{,}7\%$.

Krok 5. Część b).

$m(10) = 400 \cdot 0{,}85^{10} \approx 400 \cdot 0{,}19687 \approx 78{,}7 \text{ mg}.$

Odpowiedź. a) Po 10 pełnych godzinach. b) Około $78{,}7$ mg leku.