Datowanie węglem C-14 - ile lat ma znalezisko, w którym zostało 30% izotopu?

Krok 1. Model rozpadu. Co $5\,730$ lat ilość izotopu maleje o połowę. Po $t$ latach z początkowej ilości $m_0$ zostaje

$m(t) = m_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/5730}.$

Wykładnik $\frac{t}{5730}$ mówi, ile okresów połowicznego rozpadu minęło.

Krok 2. Równanie. Zostało $30\%$, czyli $m(t) = 0{,}3\,m_0$:

$\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/5730} = 0{,}3.$

Krok 3. Logarytmujemy obie strony (logarytm dziesiętny) i wyciągamy wykładnik przed logarytm:

$\frac{t}{5730} \cdot \log 0{,}5 = \log 0{,}3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{t}{5730} = \frac{\log 0{,}3}{\log 0{,}5} \approx \frac{-0{,}52288}{-0{,}30103} \approx 1{,}737.$

Oba logarytmy są ujemne (liczby mniejsze od $1$), więc ich iloraz jest dodatni - tak jak powinien być czas.

Krok 4. Wiek.

$t \approx 1{,}737 \cdot 5\,730 \approx 9\,953 \text{ lat}.$

Sprawdzenie sensu. Po jednym okresie ($5\,730$ lat) zostałoby $50\%$, po dwóch ($11\,460$ lat) - $25\%$. Wartość $30\%$ leży między nimi, bliżej $25\%$, więc wynik nieco poniżej $11\,460$ lat jest rozsądny. Numerycznie: $0{,}5^{9950/5730} \approx 0{,}300$.

Odpowiedź. Znalezisko ma około $9\,950$ lat.