Czas podwojenia populacji bakterii - wzrost o 12% na godzinę

Krok 1. Model. Wzrost o $12\%$ na godzinę oznacza mnożenie przez $1{,}12$ co godzinę. Po $t$ godzinach kolonia liczy

$N(t) = 500 \cdot 1{,}12^{t}.$

Krok 2. Równanie na czas podwojenia. Szukamy $t$, dla którego $N(t) = 2 \cdot 500$:

$500 \cdot 1{,}12^{t} = 1000 \quad\Longrightarrow\quad 1{,}12^{t} = 2.$

Liczba początkowa się skraca - czas podwojenia nie zależy od tego, ile było bakterii na starcie.

Krok 3. Logarytmujemy. Niewiadoma siedzi w wykładniku, więc bierzemy logarytm dziesiętny obu stron i korzystamy z prawa $\log a^t = t \log a$:

$t \cdot \log 1{,}12 = \log 2 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\log 2}{\log 1{,}12} \approx \frac{0{,}30103}{0{,}04922} \approx 6{,}12.$

$0{,}12$ godziny to około $0{,}116 \cdot 60 \approx 7$ minut (dokładniej $t \approx 6{,}116$ h).

Krok 4. Część b) - nierówność. Ma być $500 \cdot 1{,}12^{n} \geq 20\,000$, czyli $1{,}12^{n} \geq 40$. Logarytm dziesiętny jest funkcją rosnącą, więc znak nierówności zostaje:

$n \geq \frac{\log 40}{\log 1{,}12} \approx \frac{1{,}60206}{0{,}04922} \approx 32{,}55.$

Krok 5. Sprawdzenie sąsiednich liczb. $1{,}12^{32} \approx 37{,}6 < 40$, a $1{,}12^{33} \approx 42{,}1 \geq 40$. Po 32 godzinach bakterii jest jeszcze za mało, po 33 - już wystarczająco.

Odpowiedź. a) Czas podwojenia wynosi około $6{,}12$ h, czyli około 6 godzin i 7 minut. b) Po 33 pełnych godzinach.