Pole trójkąta z kątem rozwartym 135° - boki 6 i 10 i wysokość poza trójkątem

Krok 1. Sinus kąta rozwartego. Ze wzoru redukcyjnego $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$:

$\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Uwaga: ujemny jest cosinus kąta rozwartego, a nie sinus. Sinus każdego kąta trójkąta jest dodatni, dlatego pole nigdy nie wychodzi ujemne.

Krok 2. Pole. Boki $6$ i $10$ tworzą kąt $135^\circ$ - leży on między nimi, więc:

$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin 135^\circ = 30 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2} \approx 21{,}21.$

Krok 3. Wysokość z pola. Wysokość $h$ opuszczona z $A$ na prostą $BC$ odpowiada podstawie $BC = 10$:

$h = \frac{2P}{|BC|} = \frac{30\sqrt{2}}{10} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24.$

Krok 4. Gdzie leży spodek wysokości. Kąt przy $C$ jest rozwarty, więc spodek $F$ wysokości leży na przedłużeniu boku $BC$, poza trójkątem. W trójkącie prostokątnym $AFC$ kąt przy $C$ ma $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$, więc $h = 6 \sin 45^\circ = 3\sqrt{2}$ - ten sam wynik. Wzór $P = \frac{1}{2} a h$ działa bez zmian, choć wysokość wychodzi poza figurę.

Odpowiedź. $P = 15\sqrt{2} \approx 21{,}21$, a wysokość opuszczona z $A$ ma długość $3\sqrt{2} \approx 4{,}24$.