Pole trójkąta A(2, −1), B(2, 5), C(−4, 7) jako ½ · a · h i wysokość z B

Krok 1. Bok równoległy do osi. Punkty $A$ i $B$ mają tę samą pierwszą współrzędną $x = 2$, więc bok $AB$ leży na pionowej prostej $x = 2$. Jego długość to różnica drugich współrzędnych:

$|AB| = 5 - (-1) = 6.$

Krok 2. Wysokość opuszczona na prostą $AB$. Odległość punktu $C = (-4, 7)$ od pionowej prostej $x = 2$ to różnica pierwszych współrzędnych: $h = 2 - (-4) = 6$. Spodek tej wysokości to $F = (2, 7)$ - leży nad punktem $B$, czyli na przedłużeniu boku $AB$, bo kąt przy $B$ jest rozwarty. Wzór na pole i tak działa.

Krok 3. Pole.

$P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18.$

Krok 4. Długość boku $AC$ ze wzoru na długość odcinka:

$|AC| = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (7 - (-1))^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10.$

Krok 5. Wysokość z $B$ z tego samego pola.

$\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h_B = 18 \quad\Longrightarrow\quad h_B = \frac{36}{10} = 3{,}6.$

Ta wysokość to zarazem odległość punktu $B$ od prostej $AC$ - wyznaczyliśmy ją bez równania prostej.

Odpowiedź. $P = 18$, a wysokość opuszczona z $B$ na bok $AC$ ma długość $3{,}6$.