Boki 6 i 10, zmienny kąt γ - kiedy pole trójkąta jest największe?

Krok 1. Pole jako funkcja kąta. Kąt $\gamma$ leży między bokami $6$ i $10$:

$P(\gamma) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin\gamma = 30\sin\gamma.$

Krok 2. Największe pole. Dla $\gamma \in (0^\circ, 180^\circ)$ sinus przyjmuje wartości z przedziału $(0, 1]$, a wartość $1$ tylko dla $\gamma = 90^\circ$. Stąd największe pole to $P(90^\circ) = 30$. Geometrycznie: wysokość opuszczona na bok $10$ to $6\sin\gamma$ i jest najdłuższa, gdy bok $6$ stoi prostopadle do boku $10$ (punkt $A_2$ na rysunku).

Krok 3. Nierówność z polem.

$30\sin\gamma \geq 15\sqrt{2} \quad\Longleftrightarrow\quad \sin\gamma \geq \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Krok 4. Rozwiązanie nierówności dla kątów trójkąta. Równość $\sin\gamma = \frac{\sqrt{2}}{2}$ zachodzi w przedziale $(0^\circ, 180^\circ)$ dla dwóch kątów: $45^\circ$ i $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. Sinus rośnie od $0^\circ$ do $90^\circ$ i maleje od $90^\circ$ do $180^\circ$, więc jest nie mniejszy od $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dokładnie między tymi kątami:

$\gamma \in [45^\circ, 135^\circ].$

Uwaga: odpowiedź „$\gamma \geq 45^\circ$” jest błędna - kąt $150^\circ$ daje pole $30 \cdot \frac{1}{2} = 15 < 15\sqrt{2}$. Przy kącie rozwartym pole znów maleje (punkty $A_1$ i $A_3$ na rysunku dają to samo pole $15\sqrt{2}$).

Odpowiedź. a) $P(\gamma) = 30\sin\gamma$; b) największe pole $30$ dla $\gamma = 90^\circ$; c) $\gamma \in [45^\circ, 135^\circ]$.