Pole trójkąta o bokach 9 i 12 z kątem 60° między nimi

Krok 1. Dobór wzoru. Znamy dwa boki i kąt między nimi, więc używamy wzoru z sinusem:

$P = \frac{1}{2} a b \sin\gamma.$

Krok 2. Podstawienie. Wartość $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$P = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 54 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 27\sqrt{3} \approx 46{,}77.$

Krok 3. Wysokość na bok $12$. Z tego samego pola, $P = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h$:

$h = \frac{2P}{12} = \frac{54\sqrt{3}}{12} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \approx 7{,}79.$

Krok 4. Kontrola innym sposobem. Wysokość opuszczona z $A$ na bok $CB$ jest przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta $60^\circ$ w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej $9$, więc $h = 9 \sin 60^\circ = \frac{9\sqrt{3}}{2}$. Zgadza się.

Odpowiedź. $P = 27\sqrt{3} \approx 46{,}77$, a wysokość opuszczona na bok $12$ ma długość $\frac{9\sqrt{3}}{2} \approx 7{,}79$.