Bok trójkąta z pola: P = 24, AB = 8√2 i kąt 45° - oblicz AC i BC

Krok 1. Które boki tworzą kąt $45^\circ$. Kąt $BAC$ leży przy wierzchołku $A$ między bokami $AB$ i $AC$. Oznaczmy $|AC| = b$. Wzór z sinusem:

$P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \sin 45^\circ.$

Krok 2. Równanie z niewiadomą $b$. Podstawiamy $P = 24$, $|AB| = 8\sqrt{2}$ i $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$24 = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot b \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{8 \cdot 2}{4} \cdot b = 4b \quad\Longrightarrow\quad b = 6.$

Krok 3. Bok $BC$ z twierdzenia cosinusów. Znamy teraz dwa boki i kąt między nimi, a $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$|BC|^2 = (8\sqrt{2})^2 + 6^2 - 2 \cdot 8\sqrt{2} \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 128 + 36 - 96 = 68.$

$|BC| = \sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17} \approx 8{,}25.$

Więcej o tym kroku: twierdzenie cosinusów.

Krok 4. Kontrola pola. $\frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{96}{4} = 24$. Zgadza się.

Odpowiedź. $|AC| = 6$, $|BC| = 2\sqrt{17} \approx 8{,}25$.