Liczba rozwiązań równania |2ˣ − 4| = m w zależności od parametru m

Krok 1. Wykres bez modułu. Wykres $y = 2^x - 4$ to wykres $y = 2^x$ przesunięty o $4$ w dół. Ma asymptotę $y = -4$, zbiór wartości $(-4, +\infty)$ i miejsce zerowe:

$2^x - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2^x = 2^2 \quad\Longrightarrow\quad x = 2$

Krok 2. Moduł. Część wykresu leżąca pod osią $OX$ (dla $x < 2$) odbijamy symetrycznie do góry, część nad osią zostaje. Dla $x < 2$ mamy więc $f(x) = 4 - 2^x$, a asymptota $y = -4$ odbija się w prostą $y = 4$. Wykres zbliża się do niej z lewej strony, ale jej nie osiąga, bo $4 - 2^x < 4$ dla każdego $x$. Punkty kontrolne: $f(0) = |1 - 4| = 3$, $f(2) = 0$, $f(3) = |8 - 4| = 4$.

Krok 3. Przesuwamy prostą $y = m$. Liczba rozwiązań równania to liczba punktów wspólnych wykresu z poziomą prostą $y = m$:

• $m < 0$ - prosta leży pod wykresem (moduł nie jest ujemny): brak rozwiązań;
• $m = 0$ - jeden punkt wspólny $(2, 0)$: jedno rozwiązanie;
• $0 < m < 4$ - prosta przecina lewą gałąź (malejącą) i prawą (rosnącą): dwa rozwiązania;
• $m \geq 4$ - prosta przecina tylko prawą gałąź: jedno rozwiązanie.

Krok 4. Sprawdzenie granicznego $m = 4$. Równanie $|2^x - 4| = 4$ rozpada się na $2^x - 4 = 4$, czyli $x = 3$, oraz $2^x - 4 = -4$, czyli $2^x = 0$ - sprzeczność, bo $2^x > 0$. Jest więc dokładnie jedno rozwiązanie, choć prosta $y = 4$ jest „przyklejona” do lewej gałęzi.

Dla przykładu $m = 1$: $2^x = 3$ lub $2^x = 5$, czyli $x = \log_2 3$ lub $x = \log_2 5$ - dwa rozwiązania.

Odpowiedź. Brak rozwiązań dla $m < 0$; jedno rozwiązanie dla $m = 0$ oraz dla $m \geq 4$; dwa rozwiązania dla $m \in (0, 4)$.