Odbicia wykresu y = 3ˣ: symetria względem osi OX, osi OY i początku układu

Krok 1. Trzy reguły odbicia. Dla dowolnej funkcji $f$:

• symetria względem osi $OY$: $y = f(-x)$;
• symetria względem osi $OX$: $y = -f(x)$;
• symetria względem początku układu: $y = -f(-x)$.

Krok 2. Symetria względem osi $OY$.

$g(x) = 3^{-x} = \left(\frac{1}{3}\right)^x$

To funkcja wykładnicza o podstawie $\frac{1}{3} < 1$: malejąca, zbiór wartości $(0, +\infty)$.

Krok 3. Symetria względem osi $OX$.

$h(x) = -3^x$

Wartości $3^x$ są dodatnie, więc wartości $h$ są ujemne: zbiór wartości $(-\infty, 0)$. Odbicie względem osi $OX$ odwraca monotoniczność - $h$ jest malejąca.

Krok 4. Symetria względem początku układu.

$k(x) = -3^{-x} = -\left(\frac{1}{3}\right)^x$

Zbiór wartości $(-\infty, 0)$. Funkcja $\left(\frac{1}{3}\right)^x$ maleje, a minus przed nią odwraca monotoniczność, więc $k$ jest rosnąca. Punkt $(1, 3)$ wykresu $f$ przechodzi w $(-1, -3)$: $k(-1) = -3^{1} = -3$.

Odpowiedź. $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ - zbiór wartości $(0, +\infty)$, malejąca; $h(x) = -3^x$ - zbiór wartości $(-\infty, 0)$, malejąca; $k(x) = -\left(\frac{1}{3}\right)^x$ - zbiór wartości $(-\infty, 0)$, rosnąca.

Wszystkie trzy wykresy mają tę samą asymptotę poziomą $y = 0$ - odbicia względem osi i początku układu nie przesuwają osi $OX$.