Odczytaj wzór funkcji wykładniczej z wykresu: a, p i q w f(x) = aˣ⁻ᵖ + q

Krok 1. Parametr $q$. Asymptota pozioma wykresu $y = a^{x - p} + q$ to prosta $y = q$, więc $q = -2$.

Krok 2. Parametr $p$. Punkt $(1, -1)$ leży o $1$ nad asymptotą. Dla wykresu $y = a^x$ punktem leżącym o $1$ nad asymptotą jest $(0, 1)$, bo $a^0 = 1$. Algebraicznie:

$a^{1 - p} - 2 = -1 \quad\Longrightarrow\quad a^{1 - p} = 1 \quad\Longrightarrow\quad 1 - p = 0 \quad\Longrightarrow\quad p = 1$

(Potęga $a^t$ przy $a \neq 1$ jest równa $1$ tylko dla $t = 0$.)

Krok 3. Podstawa $a$. Podstawiamy punkt $(2, 0)$:

$a^{2 - 1} - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = 2$

Sprawdzenie trzecim punktem: $f(3) = 2^{2} - 2 = 2$. Zgadza się, więc $f(x) = 2^{x - 1} - 2$.

Krok 4. Wartości.

$f(0) = 2^{-1} - 2 = -\frac{3}{2}, \qquad f(5) = 2^{4} - 2 = 14$

Wartość $f(0) = -1{,}5$ zgadza się z rysunkiem: wykres przecina oś $OY$ w połowie między $-1$ a $-2$.

Krok 5. Nierówność.

$2^{x - 1} - 2 > 2 \quad\Longleftrightarrow\quad 2^{x - 1} > 2^{2} \quad\Longleftrightarrow\quad x - 1 > 2 \quad\Longleftrightarrow\quad x > 3$

Podstawa $2 > 1$, więc zwrot nierówności się nie zmienia. Na rysunku: wykres leży nad prostą $y = 2$ na prawo od punktu $(3, 2)$.

Odpowiedź. a) $a = 2$, $p = 1$, $q = -2$. b) $f(0) = -\frac{3}{2}$, $f(5) = 14$. c) $x \in (3, +\infty)$.