Wektor przesunięcia wykresu y = 3ˣ⁻² + 1, asymptota i zbiór wartości

Krok 1. Wektor przesunięcia. Wykres $y = a^{x - p} + q$ powstaje z wykresu $y = a^x$ przez przesunięcie o wektor $[p, q]$. Tutaj $p = 2$ i $q = 1$:

$f(x) = 3^{x - 2} + 1 \quad\Longrightarrow\quad \vec{u} = [2, 1]$

Wykres $y = 3^x$ przesuwamy więc o $2$ jednostki w prawo i o $1$ w górę. Punkt $(0, 1)$ przechodzi w $(2, 2)$, a punkt $(1, 3)$ w $(3, 4)$.

Krok 2. Asymptota i zbiór wartości. Asymptota $y = 0$ wykresu $y = 3^x$ przesuwa się o $1$ w górę. Ponieważ $3^{x - 2} > 0$ dla każdego $x$, zawsze $f(x) > 1$:

$y = 1, \qquad ZW_f = (1, +\infty)$

Krok 3. Miejsca zerowe. Wartości funkcji są większe od $1$, więc równanie $f(x) = 0$ nie ma rozwiązań. Funkcja nie ma miejsc zerowych.

Krok 4. Przecięcie z osią $OY$.

$f(0) = 3^{-2} + 1 = \frac{1}{9} + 1 = \frac{10}{9}$

Odpowiedź. Wektor $[2, 1]$; asymptota $y = 1$; zbiór wartości $(1, +\infty)$; brak miejsc zerowych; wykres przecina oś $OY$ w punkcie $\left(0, \frac{10}{9}\right)$.

Uwaga: minus w wykładniku oznacza przesunięcie w prawo. Częsty błąd to odczytanie $3^{x - 2}$ jako przesunięcia o $2$ w lewo.