Wykres funkcji y = 2^|x| - własności, równanie 2^|x| = 8 i nierówność 2^|x| < 4

Krok 1. Rozpisanie modułu. Z definicji wartości bezwzględnej:

$f(x) = \begin{cases} 2^x & \text{dla } x \geq 0 \\ 2^{-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x & \text{dla } x < 0 \end{cases}$

Dla $x \geq 0$ rysujemy więc wykres $y = 2^x$, a dla $x < 0$ - jego odbicie względem osi $OY$. Funkcja jest parzysta: $f(-x) = 2^{|-x|} = 2^{|x|} = f(x)$, więc jej wykres jest symetryczny względem osi $OY$.

Krok 2. Zbiór wartości i monotoniczność. Ponieważ $|x| \geq 0$, a funkcja $2^t$ jest rosnąca, mamy $2^{|x|} \geq 2^0 = 1$, z równością tylko dla $x = 0$. Wartości mogą być dowolnie duże, więc:

$ZW_f = [1, +\infty)$

Funkcja maleje w przedziale $(-\infty, 0]$ i rośnie w przedziale $[0, +\infty)$. W odróżnieniu od $y = 2^x$ ten wykres nie ma asymptoty poziomej.

Krok 3. Równanie.

$2^{|x|} = 8 = 2^3 \quad\Longrightarrow\quad |x| = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = -3 \ \text{ lub } \ x = 3$

Krok 4. Nierówność. Podstawa $2 > 1$, więc zwrot nierówności zostaje:

$2^{|x|} < 2^2 \quad\Longleftrightarrow\quad |x| < 2 \quad\Longleftrightarrow\quad -2 < x < 2$

Odpowiedź. Zbiór wartości $[1, +\infty)$; funkcja maleje w $(-\infty, 0]$ i rośnie w $[0, +\infty)$. Równanie: $x = -3$ lub $x = 3$. Nierówność: $x \in (-2, 2)$.