Wyznacz p i q: f(x) = 2ˣ⁻ᵖ + q, asymptota y = −3 i punkt (1, −2)

Krok 1. Parametr $q$ z asymptoty. Wykres $y = 2^{x - p} + q$ to wykres $y = 2^x$ przesunięty o wektor $[p, q]$. Asymptota $y = 0$ przechodzi wtedy w prostą $y = q$, więc:

$q = -3$

Krok 2. Parametr $p$ z punktu. Podstawiamy współrzędne punktu $A$:

$2^{1 - p} - 3 = -2 \quad\Longrightarrow\quad 2^{1 - p} = 1 = 2^0 \quad\Longrightarrow\quad 1 - p = 0 \quad\Longrightarrow\quad p = 1$

Zatem $f(x) = 2^{x - 1} - 3$. Punkt $A$ jest obrazem punktu $(0, 1)$ wykresu $y = 2^x$ w przesunięciu o wektor $[1, -3]$ - to dobre sprawdzenie.

Krok 3. Wartość w zerze.

$f(0) = 2^{-1} - 3 = \frac{1}{2} - 3 = -\frac{5}{2}$

Krok 4. Miejsce zerowe.

$2^{x - 1} - 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2^{x - 1} = 3$

Liczby $3$ nie da się zapisać jako potęgi dwójki o wykładniku wymiernym, więc korzystamy z definicji logarytmu:

$x - 1 = \log_2 3 \quad\Longrightarrow\quad x = 1 + \log_2 3 \approx 2{,}58$

Odpowiedź. a) $p = 1$, $q = -3$, czyli $f(x) = 2^{x - 1} - 3$. b) $f(0) = -\frac{5}{2}$; miejsce zerowe $x = 1 + \log_2 3 \approx 2{,}58$.