Wzór funkcji po przesunięciu wykresu y = (1/2)ˣ o wektor [−3, 2]

Krok 1. Wzór po przesunięciu. Przesunięcie o wektor $[p, q]$ zamienia $y = f(x)$ na $y = f(x - p) + q$. Dla $p = -3$ i $q = 2$:

$g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x - (-3)} + 2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{x + 3} + 2$

Krok 2. Asymptota. Asymptota $y = 0$ przesuwa się o $2$ w górę: $y = 2$. Punkt $(0, 1)$ wykresu $f$ przechodzi w $(-3, 3)$ - i rzeczywiście $g(-3) = \left(\frac{1}{2}\right)^0 + 2 = 3$.

Krok 3. Wartość w zerze.

$g(0) = \left(\frac{1}{2}\right)^{3} + 2 = \frac{1}{8} + 2 = \frac{17}{8}$

Krok 4. Równanie $g(x) = 10$.

$\left(\frac{1}{2}\right)^{x + 3} + 2 = 10 \quad\Longrightarrow\quad \left(\frac{1}{2}\right)^{x + 3} = 8 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$

Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, więc wykładniki są równe:

$x + 3 = -3 \quad\Longrightarrow\quad x = -6$

Sprawdzenie: $g(-6) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} + 2 = 8 + 2 = 10$.

Odpowiedź. a) $g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x + 3} + 2$, asymptota $y = 2$. b) $g(0) = \frac{17}{8}$, a równanie $g(x) = 10$ ma jedno rozwiązanie $x = -6$.