Własności funkcji f(x) = −2ˣ + 4: asymptota, zbiór wartości, miejsce zerowe

Krok 1. Kolejność przekształceń. Najpierw odbijamy wykres $y = 2^x$ względem osi $OX$ - otrzymujemy $y = -2^x$. Potem przesuwamy go o $4$ w górę, czyli o wektor $[0, 4]$.

Uwaga na zapis: $-2^x$ oznacza $-(2^x)$, a nie $(-2)^x$. Potęgowanie wykonuje się przed zmianą znaku.

Krok 2. Asymptota i zbiór wartości. Wykres $y = -2^x$ leży pod osią $OX$, która jest jego asymptotą; zbiór wartości to $(-\infty, 0)$. Po przesunięciu o $4$ w górę:

$y = 4, \qquad ZW_f = (-\infty, 4)$

Krok 3. Miejsce zerowe i przecięcie z osią $OY$.

$-2^x + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2^x = 4 = 2^2 \quad\Longrightarrow\quad x = 2$

$f(0) = -2^0 + 4 = -1 + 4 = 3$

Krok 4. Monotoniczność. Funkcja $2^x$ rośnie, więc $-2^x$ maleje, a przesunięcie w górę monotoniczności nie zmienia: $f$ jest malejąca w całej dziedzinie $\mathbb{R}$.

Krok 5. Wartości dodatnie. Funkcja maleje i zeruje się w $x = 2$, więc jest dodatnia na lewo od miejsca zerowego. Algebraicznie:

$-2^x + 4 > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2^x < 2^2 \quad\Longleftrightarrow\quad x < 2$

Odpowiedź. a) Odbicie wykresu $y = 2^x$ względem osi $OX$, a potem przesunięcie o $4$ w górę. b) Asymptota $y = 4$; zbiór wartości $(-\infty, 4)$; miejsce zerowe $x = 2$; punkt $(0, 3)$; funkcja malejąca w $\mathbb{R}$. c) $f(x) > 0$ dla $x \in (-\infty, 2)$.