Stosunek pól trójkątów o wspólnej wysokości: BD : DC = 3 : 5 i pole trójkąta BEC

Krok 1. Wspólna wysokość. Trójkąty $ABD$ i $ADC$ mają wspólny wierzchołek $A$, a ich podstawy $BD$ i $DC$ leżą na jednej prostej $BC$. Wysokość opuszczona z $A$ jest więc dla obu taka sama i pola mają się jak podstawy:

$\frac{P_{ABD}}{P_{ADC}} = \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{3}{5}.$

Krok 2. Pola z części a). $P_{ABD} = 21$ to $3$ części, więc jedna część to $7$:

$P_{ADC} = 5 \cdot 7 = 35, \qquad P_{ABC} = 21 + 35 = 56.$

Krok 3. Środkowa w trójkącie $ABD$. Odcinek $BE$ łączy wierzchołek $B$ ze środkiem $E$ boku $AD$, czyli jest środkową trójkąta $ABD$. Środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach, więc $P_{BDE} = \frac{21}{2} = 10{,}5$.

Krok 4. Środkowa w trójkącie $ADC$. Tak samo $CE$ jest środkową trójkąta $ADC$: $P_{DCE} = \frac{35}{2} = 17{,}5$.

Krok 5. Pole trójkąta $BEC$. Odcinek $ED$ dzieli trójkąt $BEC$ na trójkąty $BDE$ i $DCE$:

$P_{BEC} = 10{,}5 + 17{,}5 = 28.$

To dokładnie połowa pola trójkąta $ABC$ - i nie jest to przypadek: $P_{BEC} = \frac{1}{2}P_{ABD} + \frac{1}{2}P_{ADC} = \frac{1}{2}P_{ABC}$ dla każdego położenia punktu $D$ na boku $BC$.

Odpowiedź. a) $P_{ADC} = 35$, $P_{ABC} = 56$; b) $P_{BEC} = 28$.