Punkt w trójkącie równobocznym odległy o 2, 3 i 4 od boków - bok i pole (Viviani)

Krok 1. Podział na trzy trójkąty. Odcinki $PA$, $PB$, $PC$ dzielą trójkąt $ABC$ na trójkąty $PAB$, $PBC$ i $PCA$. Oznaczmy bok przez $a$. Każdy z trzech trójkątów ma podstawę $a$, a jego wysokością jest odległość punktu $P$ od tej podstawy:

$P_{ABC} = \frac{1}{2} a \cdot 2 + \frac{1}{2} a \cdot 3 + \frac{1}{2} a \cdot 4 = \frac{1}{2} a \cdot 9.$

Krok 2. To samo pole przez wysokość trójkąta. $P_{ABC} = \frac{1}{2} a h$. Porównanie daje $h = 2 + 3 + 4 = 9$ - suma odległości punktu od boków jest równa wysokości (twierdzenie Vivianiego).

Krok 3. Bok z wysokości.

$\frac{a\sqrt{3}}{2} = 9 \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39.$

Krok 4. Pole.

$P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 9 = 27\sqrt{3} \approx 46{,}77.$

Kontrola wzorem na pole trójkąta równobocznego: $\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{108\sqrt{3}}{4} = 27\sqrt{3}$.

Uwaga: nie potrzebujemy wiedzieć, gdzie dokładnie leży punkt $P$ - położenie wypada z rachunku. Ważne tylko, żeby leżał wewnątrz trójkąta.

Odpowiedź. Bok ma długość $6\sqrt{3} \approx 10{,}39$, a pole wynosi $27\sqrt{3} \approx 46{,}77$.