Udowodnij: punkt w równoległoboku - pola trójkątów APB i CPD dają połowę pola

Szkoła średnia trudne

Punkt $P$ leży wewnątrz równoległoboku $ABCD$ .

a) Udowodnij, że $P_{APB} + P_{CPD} = \frac{1}{2} P_{ABCD}$ .

b) Pole równoległoboku jest równe $60$ , $P_{APB} = 13$ i $P_{BPC} = 11$ . Oblicz pola trójkątów $CPD$ i $DPA$ .

Wysokości trójkątów APB i CPD opuszczone z P na boki AB i CD składają się na wysokość h równoległoboku: h₁ + h₂ = h.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Wysokości trójkątów. Poprowadźmy przez $P$ prostą prostopadłą do boków $AB$ i $CD$ (są równoległe, więc jedna prosta jest prostopadła do obu). Odcinek $h_1$ od $P$ do $AB$ jest wysokością trójkąta $APB$ , a odcinek $h_2$ od $P$ do $CD$ - wysokością trójkąta $CPD$ . Razem tworzą wysokość równoległoboku: $h_1 + h_2 = h$ .

Krok 2. Suma pól. Boki $AB$ i $CD$ są równe (równoległobok), oznaczmy je $a$ :

$P_{APB} + P_{CPD} = \frac{1}{2} a h_1 + \frac{1}{2} a h_2 = \frac{1}{2} a (h_1 + h_2) = \frac{1}{2} a h.$

Krok 3. Wniosek. $a h$ to pole równoległoboku, więc $P_{APB} + P_{CPD} = \frac{1}{2} P_{ABCD}$ . $\blacksquare$ To samo rozumowanie dla boków $BC$ i $AD$ daje $P_{BPC} + P_{DPA} = \frac{1}{2} P_{ABCD}$ .

Krok 4. Liczby. Połowa pola to $30$ :

$P_{CPD} = 30 - 13 = 17, \qquad P_{DPA} = 30 - 11 = 19.$

Kontrola: $13 + 11 + 17 + 19 = 60$ - cztery trójkąty wypełniają cały równoległobok.

Uwaga: w parę łączymy trójkąty oparte na bokach przeciwległych ( $AB$ i $CD$ ). Trójkąty oparte na bokach sąsiednich, np. $APB$ i $BPC$ , w ogólności nie dają połowy pola: $13 + 11 = 24 \neq 30$ .

Odpowiedź. a) dowód wyżej; b) $P_{CPD} = 17$ , $P_{DPA} = 19$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →