Dwusieczna dzieli bok na odcinki 6 i 8, obwód 35 - oblicz pozostałe boki

Krok 1. Stosunek pól przez podstawy na $AB$. Trójkąty $ACD$ i $DCB$ mają wspólny wierzchołek $C$ i podstawy na prostej $AB$, więc wspólną wysokość z $C$:

$\frac{P_{ACD}}{P_{DCB}} = \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}.$

Krok 2. Ten sam stosunek przez boki $AC$ i $BC$. Punkt $D$ leży na dwusiecznej kąta $C$, więc jest równo odległy od ramion tego kąta - o tę samą długość $d$ od prostych $AC$ i $BC$. Ta odległość to wysokość trójkątów $ACD$ i $DCB$ opuszczona z $D$:

$\frac{P_{ACD}}{P_{DCB}} = \frac{\frac{1}{2}|AC| \cdot d}{\frac{1}{2}|BC| \cdot d} = \frac{|AC|}{|BC|}.$

Krok 3. Porównanie - to jest właśnie twierdzenie o dwusiecznej:

$\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{3}{4}.$

Krok 4. Boki z obwodu. $|AB| = 6 + 8 = 14$, więc $|AC| + |BC| = 35 - 14 = 21$. Oznaczmy $|AC| = 3x$, $|BC| = 4x$:

$3x + 4x = 21 \quad\Longrightarrow\quad x = 3, \qquad |AC| = 9, \quad |BC| = 12.$

Krok 5. Kontrola. Trójkąt $9, 12, 14$ istnieje ($9 + 12 > 14$), obwód $9 + 12 + 14 = 35$ i $\frac{6}{8} = \frac{9}{12}$.

Uwaga: odcinek $AD$ leży przy boku $AC$, a $DB$ przy boku $BC$. Zamiana daje $|AC| = 12$, $|BC| = 9$ - liczby te same, ale przypisane do złych boków.

Odpowiedź. $|AC| = 9$, $|BC| = 12$.