Udowodnij: suma odległości punktu podstawy od ramion trójkąta równoramiennego jest stała

Krok 1. Podział trójkąta. Odcinek $PC$ dzieli trójkąt $ABC$ na trójkąty $APC$ i $PBC$. Oznaczmy długość ramienia przez $b$.

Krok 2. Pola części. W trójkącie $APC$ za podstawę bierzemy ramię $AC$ - wysokością jest wtedy odległość $d_1$ punktu $P$ od $AC$. Podobnie w trójkącie $PBC$:

$P_{APC} = \frac{1}{2} b \, d_1, \qquad P_{PBC} = \frac{1}{2} b \, d_2.$

Krok 3. Porównanie z całym polem. Wysokość $h$ opuszczona z $A$ na ramię $BC$ spełnia $P_{ABC} = \frac{1}{2} b h$. Pola części sumują się do całości:

$\frac{1}{2} b \, d_1 + \frac{1}{2} b \, d_2 = \frac{1}{2} b h \quad\Longrightarrow\quad d_1 + d_2 = h.$

Prawa strona nie zależy od $P$, więc suma odległości jest stała. $\blacksquare$ Kluczowe było to, że oba ramiona mają tę samą długość $b$ - dzięki temu dało się wyłączyć $\frac{1}{2}b$ przed nawias.

Krok 4. Liczby. Wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na połowy: $\sqrt{10^2 - 6^2} = 8$, więc $P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$. Stąd

$d_1 + d_2 = h = \frac{2 \cdot 48}{10} = 9{,}6.$

Krok 5. Sprawdzenie dla $|AP| = 4$. Kąt przy podstawie ma $\sin\alpha = \frac{8}{10} = 0{,}8$. Odległość $d_1$ to przyprostokątna naprzeciw kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej $|AP| = 4$, a $d_2$ - w trójkącie o przeciwprostokątnej $|PB| = 8$:

$d_1 = 4 \cdot 0{,}8 = 3{,}2, \qquad d_2 = 8 \cdot 0{,}8 = 6{,}4, \qquad d_1 + d_2 = 9{,}6.$

Odpowiedź. a) $d_1 + d_2 = h$ (dowód wyżej); b) $d_1 + d_2 = 9{,}6$, dla $|AP| = 4$: $3{,}2 + 6{,}4 = 9{,}6$.