Promień okręgu opisanego na trójkącie o bokach 5, 7, 8

Krok 1. Plan. Do wzoru $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$ brakuje kąta. Gdy znamy trzy boki, kąt liczymy z twierdzenia cosinusów. Wybieramy kąt $\alpha$ naprzeciw boku $a = 7$ (pozostałe boki: $b = 5$, $c = 8$) - przy tych liczbach rachunek wychodzi najładniej.

Krok 2. Cosinus kąta $\alpha$:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha \quad\Longrightarrow\quad \cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 64 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}.$

Stąd $\alpha = 60^\circ$. Cosinus wyznacza kąt jednoznacznie - nie ma tu dylematu „ostry czy rozwarty”, jak przy sinusie.

Krok 3. Promień z twierdzenia sinusów:

$R = \frac{a}{2\sin\alpha} = \frac{7}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3} \approx 4{,}04.$

Krok 4. Kontrola innym wzorem. Pole trójkąta $P = \frac{1}{2}bc\sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$, a ze wzoru $R = \frac{abc}{4P}$ (zob. wzór Herona i wzory z promieniami):

$R = \frac{5 \cdot 7 \cdot 8}{4 \cdot 10\sqrt{3}} = \frac{280}{40\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}.$

Wynik się zgadza.

Odpowiedź. $R = \frac{7\sqrt{3}}{3} \approx 4{,}04$.