Kąt środkowy 90° i kąt 75°: boki trójkąta wpisanego w okrąg o promieniu 6

Krok 1. Kąt wpisany z kąta środkowego. Kąt $ACB$ jest wpisany i oparty na tym samym łuku $AB$ co kąt środkowy $AOB$, więc ma połowę jego miary (twierdzenie o kącie wpisanym):

$|\sphericalangle ACB| = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ.$

Krok 2. Trzeci kąt:

$|\sphericalangle BAC| = 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ.$

Krok 3. Boki z twierdzenia sinusów. Każdy bok to $2R$ razy sinus kąta naprzeciw, a $2R = 12$:

$|AB| = 12\sin 45^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49,$

$|BC| = 12\sin 60^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39,$

$|AC| = 12\sin 75^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 3(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \approx 11{,}59.$

Krok 4. Kontrola bokiem $AB$. Trójkąt $AOB$ jest prostokątny równoramienny o przyprostokątnych $6$, więc z twierdzenia Pitagorasa $|AB| = \sqrt{36 + 36} = 6\sqrt{2}$ - tak samo jak w kroku 3.

Odpowiedź. Kąty: $|\sphericalangle A| = 60^\circ$, $|\sphericalangle B| = 75^\circ$, $|\sphericalangle C| = 45^\circ$. Boki: $|AB| = 6\sqrt{2}$, $|BC| = 6\sqrt{3}$, $|AC| = 3(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \approx 11{,}59$.