Pole koła opisanego na trójkącie równoramiennym o ramieniu 10 i kącie 30°

Krok 1. Para „bok - kąt naprzeciw”. Ramię $AC$ leży naprzeciw kąta przy wierzchołku $B$, czyli naprzeciw kąta $30^\circ$. To wystarczy do promienia:

$R = \frac{|AC|}{2\sin 30^\circ} = \frac{10}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 10.$

Uwaga: ramię nie leży naprzeciw kąta przy wierzchołku $C$. Podstawienie $\frac{10}{2\sin 120^\circ}$ daje błędne $R = \frac{10\sqrt{3}}{3}$.

Krok 2. a) Pole koła:

$P_{\text{koła}} = \pi R^2 = 100\pi \approx 314{,}16.$

Krok 3. Pole trójkąta. Kąt przy $C$ ma $180^\circ - 2 \cdot 30^\circ = 120^\circ$ i leży między ramionami, więc ze wzoru $P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$:

$P_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin 120^\circ = 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3} \approx 43{,}30.$

Krok 4. b) Stosunek pól:

$\frac{P_{\triangle}}{P_{\text{koła}}} = \frac{25\sqrt{3}}{100\pi} = \frac{\sqrt{3}}{4\pi} \approx 0{,}1378 \approx 13{,}8\%.$

Trójkąt zajmuje tak małą część koła, bo jest „płaski” - kąt rozwarty przy $C$ sprawia, że środek okręgu leży poza trójkątem (zob. lekcję o okręgu opisanym na trójkącie).

Odpowiedź. a) $P = 100\pi \approx 314{,}16$; b) trójkąt zajmuje $\frac{\sqrt{3}}{4\pi} \approx 13{,}8\%$ pola koła.