Kąt z promienia i boku: R = 4, BC = 4√3 - dwa rozwiązania

Krok 1. Sinus szukanego kąta. Z twierdzenia sinusów $\frac{|BC|}{\sin\alpha} = 2R$, więc

$\sin\alpha = \frac{|BC|}{2R} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$

Krok 2. Dwa kandydaty: $\alpha = 60^\circ$ albo $\alpha = 120^\circ$.

Krok 3. Czy oba są możliwe? Tak. O kącie decyduje to, na którym łuku leży punkt $A$. Cięciwa $BC$ dzieli okrąg na dwa łuki: z punktów większego łuku widać ją pod kątem $60^\circ$, a z punktów mniejszego - pod kątem $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (kąty wpisane oparte na tej samej cięciwie po przeciwnych stronach sumują się do $180^\circ$).

Krok 4. Sprawdzenie przez kąt środkowy. Trójkąt $BOC$ ma boki $4$, $4$, $4\sqrt{3}$. Z twierdzenia cosinusów $\cos\sphericalangle BOC = \frac{16 + 16 - 48}{2 \cdot 16} = -\frac{1}{2}$, więc $|\sphericalangle BOC| = 120^\circ$. Kąt wpisany oparty na mniejszym łuku $BC$ (wierzchołek $A_1$ na większym łuku) ma połowę tej miary - $60^\circ$, a kąt oparty na większym łuku (wierzchołek $A_2$ na mniejszym łuku) ma $\frac{360^\circ - 120^\circ}{2} = 120^\circ$.

Uwaga: w tym zadaniu nie odrzucamy kąta rozwartego - nie ma innego kąta, z którym mógłby się „nie zmieścić”. Obie odpowiedzi są poprawne.

Odpowiedź. $|\sphericalangle BAC| = 60^\circ$ albo $|\sphericalangle BAC| = 120^\circ$.