Trójkąt w okręgu o promieniu 5: AB = 5, BC = 5√3 - wyznacz kąty

Krok 1. Kąt $C$ (naprzeciw boku $AB$). Z twierdzenia sinusów, przy $2R = 10$:

$\sin\gamma = \frac{|AB|}{2R} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad \gamma = 30^\circ \ \text{albo} \ \gamma = 150^\circ.$

Krok 2. Kąt $A$ (naprzeciw boku $BC$):

$\sin\alpha = \frac{|BC|}{2R} = \frac{5\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 60^\circ \ \text{albo} \ \alpha = 120^\circ.$

Krok 3. Odrzucamy $\gamma = 150^\circ$. Wtedy $\alpha + \gamma \geq 60^\circ + 150^\circ = 210^\circ > 180^\circ$

• żadna kombinacja się nie mieści. Zostaje $\gamma = 30^\circ$.

Krok 4. Dwa przypadki dla kąta $A$:

• $\alpha = 60^\circ$: $\beta = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ$;
• $\alpha = 120^\circ$: $\beta = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.

Krok 5. Sprawdzenie, czy oba trójkąty naprawdę istnieją. Liczymy trzeci bok $|AC| = 2R\sin\beta$:

• przy $\beta = 90^\circ$: $|AC| = 10$ - to średnica, a $5^2 + (5\sqrt{3})^2 = 25 + 75 = 100 = 10^2$, więc trójkąt jest prostokątny, jak trzeba;
• przy $\beta = 30^\circ$: $|AC| = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 = |AB|$ - trójkąt równoramienny o kątach $120^\circ$, $30^\circ$, $30^\circ$.

Uwaga: odrzucanie kąta $120^\circ$ „bo rozwarty” byłoby błędem. Rozwarty kąt odpada tylko wtedy, gdy nie mieści się w sumie $180^\circ$ - tu się mieści.

Odpowiedź. Są dwa trójkąty: o kątach $|\sphericalangle A| = 60^\circ$, $|\sphericalangle B| = 90^\circ$, $|\sphericalangle C| = 30^\circ$ albo $|\sphericalangle A| = 120^\circ$, $|\sphericalangle B| = 30^\circ$, $|\sphericalangle C| = 30^\circ$.