Ania przed Bartkiem w kolejce - permutacje z warunkiem kolejności

Krok 1. Wszystkie ustawienia. Siedem osób w kolejce to permutacja zbioru $7$-elementowego:

$$7! = 5040.$$

Krok 2. a) Symetria. Podzielmy wszystkie ustawienia na pary: każdemu ustawieniu przyporządkujmy to, w którym Ania i Bartek zamienili się miejscami, a reszta stoi bez zmian. W każdej takiej parze dokładnie w jednym ustawieniu Ania jest przed Bartkiem. Ustawień „Ania przed Bartkiem” jest więc dokładnie połowa:

$$\frac{7!}{2} = \frac{5040}{2} = 2520.$$

Krok 3. b) Ta sama myśl dla trzech osób. Ustalmy, na których trzech miejscach stoją Ania, Bartek i Celina. Tych troje może zająć te miejsca w $3! = 6$ kolejnościach, a tylko jedna z nich to „Ania, potem Bartek, potem Celina”. Wszystkie ustawienia dzielą się więc na grupy po $6$, z których w każdej dokładnie jedno spełnia warunek:

$$\frac{7!}{3!} = \frac{5040}{6} = 840.$$

Krok 4. b) Sprawdzenie innym sposobem. Wybierzmy najpierw $3$ miejsca dla Ani, Bartka i Celiny - kolejność tych miejsc jest wymuszona warunkiem, więc wybór to kombinacja $\binom{7}{3} = 35$. Pozostałe $4$ osoby ustawiamy na $4$ wolnych miejscach na $4! = 24$ sposoby:

$$35 \cdot 24 = 840.$$

Oba sposoby dają ten sam wynik.

Odpowiedź. a) $2520$ ustawień; b) $840$ ustawień.