Boki 5 i 12, kąt 60°, 90° i 120° - jak zmienia się trzeci bok

Krok 1. Wspólny wzór. We wszystkich trzech przypadkach kąt leży między bokami $5$ i $12$, więc

$c^2 = 5^2 + 12^2 - 2 \cdot 5 \cdot 12 \cdot \cos\gamma = 169 - 120\cos\gamma.$

Krok 2. Kąt prosty (a). $\cos 90^\circ = 0$, poprawka znika i zostaje twierdzenie Pitagorasa:

$c^2 = 169 - 0 = 169, \qquad c = 13.$

To znany trójkąt prostokątny $5$, $12$, $13$ - twierdzenie Pitagorasa jest szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinusów.

Krok 3. Kąt ostry (b). $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, więc poprawka jest ujemna:

$c^2 = 169 - 120 \cdot \frac{1}{2} = 169 - 60 = 109, \qquad c = \sqrt{109} \approx 10{,}44.$

Krok 4. Kąt rozwarty (c). $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$, więc poprawka dodaje się:

$c^2 = 169 - 120 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 169 + 60 = 229, \qquad c = \sqrt{229} \approx 15{,}13.$

Krok 5. Porównanie. Im większy kąt między bokami, tym dłuższy bok naprzeciw niego: $\sqrt{109} < 13 < \sqrt{229}$. Przy kącie ostrym cosinus jest dodatni i bok wychodzi krótszy niż u Pitagorasa, przy rozwartym - ujemny i bok wychodzi dłuższy.

Uwaga: typowy błąd w (c) to $c^2 = 169 - 60 = 109$, czyli ten sam wynik co w (b). Gdyby tak było, dwa różne kąty dawałyby ten sam bok - to sygnał, że zgubił się minus cosinusa.

Odpowiedź. a) $c = 13$; b) $c = \sqrt{109} \approx 10{,}44$; c) $c = \sqrt{229} \approx 15{,}13$.