Bok z równania kwadratowego: AC = 7, AB = 13, kąt C = 120°

Krok 1. Gdzie leży kąt? Kąt przy wierzchołku $C$ leży między bokami $CA$ i $CB$, a naprzeciw niego jest bok $AB = 13$. Znany kąt nie leży więc między dwoma znanymi bokami - jednym z jego ramion jest szukany bok $a = |BC|$. Mimo to twierdzenie cosinusów działa: piszemy je dla boku naprzeciw kąta $120^\circ$, a niewiadoma pojawi się po prawej stronie.

Krok 2. Twierdzenie cosinusów dla boku $AB$:

$13^2 = a^2 + 7^2 - 2 \cdot a \cdot 7 \cdot \cos 120^\circ.$

Krok 3. Podstawiamy $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$:

$169 = a^2 + 49 + 7a.$

Krok 4. Równanie kwadratowe. Przenosimy wszystko na jedną stronę:

$a^2 + 7a - 120 = 0.$

Krok 5. Rozwiązujemy.

$\Delta = 7^2 + 4 \cdot 120 = 49 + 480 = 529, \qquad \sqrt{\Delta} = 23,$

$a_1 = \frac{-7 - 23}{2} = -15, \qquad a_2 = \frac{-7 + 23}{2} = 8.$

Krok 6. Wybór rozwiązania. Długość boku jest dodatnia, więc $a = -15$ odrzucamy.

Krok 7. Sprawdzenie: $8^2 + 7^2 + 8 \cdot 7 = 64 + 49 + 56 = 169 = 13^2$. Zgadza się, a bok $13$ naprzeciw kąta rozwartego jest najdłuższy - tak jak powinien.

Odpowiedź. $|BC| = 8$.