Trzeci bok przy kącie rozwartym 135°: boki 3√2 i 5

Krok 1. Wzór. Kąt $135^\circ$ leży między danymi bokami, więc dla $c = |AB|$:

$c^2 = (3\sqrt{2})^2 + 5^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 5 \cdot \cos 135^\circ.$

Krok 2. Cosinus kąta rozwartego. Kąt przyległy do $135^\circ$ ma $45^\circ$, a cosinus kąta rozwartego to cosinus kąta przyległego ze znakiem minus:

$\cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Krok 3. Kwadraty boków. $(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$ oraz $5^2 = 25$.

Krok 4. Poprawka. Pierwiastki się skracają, bo $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$:

$-2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 5 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 30\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 30.$

Krok 5. Wynik.

$c^2 = 18 + 25 + 30 = 73, \qquad c = \sqrt{73} \approx 8{,}54.$

Uwaga: zgubiony minus daje $c^2 = 18 + 25 - 30 = 13$, czyli $c \approx 3{,}61$ - bok naprzeciw kąta rozwartego wyszedłby wtedy krótszy od boku $5$. A naprzeciw kąta rozwartego zawsze leży najdłuższy bok trójkąta, więc taki wynik od razu zdradza błąd.

Odpowiedź. $|AB| = \sqrt{73} \approx 8{,}54$.