Trzeci bok trójkąta: boki 3 i 8, kąt 60° między nimi

Szkoła średnia łatwe

W trójkącie $ABC$ boki $a = |BC| = 3$ i $b = |AC| = 8$ tworzą kąt $\gamma = 60^\circ$ (rysunek). Oblicz długość boku $c = |AB|$ .

Kąt γ = 60° leży między bokami a = 3 i b = 8, więc szukany bok c leży naprzeciw niego.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Sprawdzamy, czy pasuje twierdzenie cosinusów. Znamy dwa boki i kąt między nimi - dokładnie te dane, dla których twierdzenie cosinusów daje trzeci bok:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma.$

Krok 2. Wartość cosinusa. Kąt $60^\circ$ jest ostry, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ .

Krok 3. Podstawiamy.

$c^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 9 + 64 - 24 = 49.$

Krok 4. Pierwiastek. Wzór daje kwadrat boku, więc $c = \sqrt{49} = 7$ .

Krok 5. Kontrola sensu. Bok $c$ musi spełniać nierówność trójkąta: $8 - 3 < 7 < 8 + 3$ . Dla kąta ostrego wynik jest też mniejszy niż przeciwprostokątna przy kącie prostym: $\sqrt{9 + 64} = \sqrt{73} \approx 8{,}54 > 7$ . Wszystko się zgadza.

Odpowiedź. $c = 7$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →