Dwa trójkąty z tych samych danych: AC = 8, AB = 7, kąt C = 60°

Krok 1. Układ danych. Kąt $60^\circ$ przy wierzchołku $C$ leży między bokiem $CA = 8$ a szukanym bokiem $a = |BC|$. Bok $AB = 7$ leży naprzeciw tego kąta - piszemy dla niego twierdzenie cosinusów:

$7^2 = a^2 + 8^2 - 2 \cdot a \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ.$

Krok 2. Porządkujemy. Z $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$:

$49 = a^2 + 64 - 8a \quad\Longrightarrow\quad a^2 - 8a + 15 = 0.$

Krok 3. Rozwiązujemy.

$\Delta = 64 - 60 = 4, \qquad a_1 = \frac{8 - 2}{2} = 3, \qquad a_2 = \frac{8 + 2}{2} = 5.$

Krok 4. Oba pierwiastki są dodatnie. Tym razem nie ma czego odrzucić: oba spełniają też nierówność trójkąta ($3, 7, 8$ oraz $5, 7, 8$). Dane opisują więc dwa różne trójkąty.

Krok 5. Skąd dwa trójkąty? Wierzchołek $B$ leży na ramieniu kąta $60^\circ$ i ma być odległy od $A$ o $7$. Okrąg o środku $A$ i promieniu $7$ przecina to ramię w dwóch punktach: $B_1$ ($CB_1 = 3$) i $B_2$ ($CB_2 = 5$). Trójkąt $AB_1B_2$ jest równoramienny ($|AB_1| = |AB_2| = 7$).

Krok 6. Sprawdzenie i różnica między trójkątami. $9 + 64 - 24 = 49$ oraz $25 + 64 - 40 = 49$ - oba się zgadzają. Trójkąty różnią się kątem przy $B$: naprzeciw boku $8$

$\cos\sphericalangle B_1 = \frac{3^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 3 \cdot 7} = -\frac{1}{7}, \qquad \cos\sphericalangle B_2 = \frac{5^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{1}{7},$

czyli pierwszy trójkąt jest rozwartokątny, a drugi ostrokątny.

Uwaga: kąt nie leżał między dwoma znanymi bokami, więc to ta sama niejednoznaczność, którą zna się z twierdzenia sinusów. Twierdzenie cosinusów pokazuje ją jako równanie kwadratowe z dwoma dodatnimi pierwiastkami.

Odpowiedź. $|BC| = 3$ lub $|BC| = 5$ - istnieją dwa takie trójkąty.