Trzeci bok jako funkcja kąta: boki 5 i 8, kąt γ jako parametr

Krok 1. Wzór (a). Kąt $\gamma$ leży między bokami $5$ i $8$:

$c^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos\gamma = 89 - 80\cos\gamma.$

Krok 2. Bok $7$ (b). Podstawiamy $c^2 = 49$:

$49 = 89 - 80\cos\gamma \quad\Longrightarrow\quad \cos\gamma = \frac{40}{80} = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad \gamma = 60^\circ.$

Krok 3. Bok $\sqrt{129}$ (b). Podstawiamy $c^2 = 129$:

$129 = 89 - 80\cos\gamma \quad\Longrightarrow\quad \cos\gamma = -\frac{40}{80} = -\frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad \gamma = 120^\circ.$

Cosinus jest ujemny, więc kąt jest rozwarty. W przedziale $(0^\circ, 180^\circ)$ każda wartość cosinusa odpowiada dokładnie jednemu kątowi, więc innych rozwiązań nie ma.

Krok 4. Zbiór długości (c). Dla $0^\circ < \gamma < 180^\circ$ cosinus przyjmuje wszystkie wartości z przedziału $(-1, 1)$, a wyrażenie $89 - 80\cos\gamma$ maleje, gdy cosinus rośnie:

$89 - 80 \cdot 1 < c^2 < 89 - 80 \cdot (-1) \quad\Longrightarrow\quad 9 < c^2 < 169 \quad\Longrightarrow\quad 3 < c < 13.$

To dokładnie nierówność trójkąta: $8 - 5 < c < 8 + 5$. Skrajne wartości $3$ i $13$ odpowiadałyby kątom $0^\circ$ i $180^\circ$, przy których trójkąt „spłaszcza się” w odcinek.

Krok 5. Kiedy $c > \sqrt{89}$ (c). Warunek $c^2 > 89$ oznacza

$89 - 80\cos\gamma > 89 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos\gamma < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 90^\circ < \gamma < 180^\circ.$

Liczba $\sqrt{89}$ to przeciwprostokątna przy kącie prostym - bok jest od niej dłuższy dokładnie wtedy, gdy kąt jest rozwarty.

Odpowiedź. a) $c^2 = 89 - 80\cos\gamma$; b) $c = 7$ dla $\gamma = 60^\circ$, $c = \sqrt{129}$ dla $\gamma = 120^\circ$; c) $c \in (3, 13)$, a $c > \sqrt{89}$ dla $\gamma \in (90^\circ, 180^\circ)$.