Długość środkowej z twierdzenia cosinusów: AB = 8, AC = 6, kąt A = 60°

Krok 1. Co to jest środkowa. Środkowa łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. Punkt $M$ jest więc środkiem boku $AC$ i

$|AM| = \frac{|AC|}{2} = \frac{6}{2} = 3.$

Krok 2. Wybieramy trójkąt. W trójkącie $ABM$ znamy dwa boki, $|AB| = 8$ i $|AM| = 3$, oraz kąt między nimi - to ten sam kąt $60^\circ$ przy wierzchołku $A$, bo punkt $M$ leży na boku $AC$.

Krok 3. Twierdzenie cosinusów w trójkącie $ABM$:

$|BM|^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 64 + 9 - 24 = 49.$

Krok 4. Wynik: $|BM| = 7$.

Uwaga: częsty błąd to wstawienie całego boku $|AC| = 6$ zamiast połowy. Wychodzi wtedy $64 + 36 - 48 = 52$, czyli długość boku $BC = 2\sqrt{13}$, a nie środkowej.

Odpowiedź. $|BM| = 7$.