Pochodna ułamka z pierwiastkiem w mianowniku - rozbicie na potęgi

Krok 1. Rozbijamy ułamek. Mianownik to pojedyncza potęga $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$, więc zamiast wzoru na iloraz dzielimy każdy wyraz licznika osobno (odejmujemy wykładniki):

$$f(x) = \frac{x^3}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{4x}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{5}{2}} - 4x^{\frac{1}{2}} + 2x^{-\frac{1}{2}}.$$

Krok 2. Różniczkujemy wzorem $(x^a)' = a x^{a - 1}$.

$$\left(x^{\frac{5}{2}}\right)' = \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}, \qquad \left(-4x^{\frac{1}{2}}\right)' = -2x^{-\frac{1}{2}}, \qquad \left(2x^{-\frac{1}{2}}\right)' = -x^{-\frac{3}{2}}.$$

Zatem

$$f'(x) = \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 2x^{-\frac{1}{2}} - x^{-\frac{3}{2}}.$$

Krok 3. Jeden ułamek. Wspólny mianownik to $2x^{\frac{3}{2}} = 2x\sqrt{x}$. Mnożymy każdy składnik przez $\frac{2x^{3/2}}{2x^{3/2}}$:

$$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} = \frac{5x^3}{2x\sqrt{x}}, \qquad 2x^{-\frac{1}{2}} = \frac{4x}{2x\sqrt{x}}, \qquad x^{-\frac{3}{2}} = \frac{2}{2x\sqrt{x}}.$$

$$f'(x) = \frac{5x^3 - 4x - 2}{2x\sqrt{x}}.$$

Krok 4. Sprawdzenie wzorem na iloraz. Z $u = x^3 - 4x + 2$, $v = \sqrt{x}$:

$$f'(x) = \frac{(3x^2 - 4)\sqrt{x} - (x^3 - 4x + 2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{2x(3x^2 - 4) - (x^3 - 4x + 2)}{2x\sqrt{x}} = \frac{5x^3 - 4x - 2}{2x\sqrt{x}}.$$

Wynik ten sam, ale rachunek dłuższy - przy jednomianie w mianowniku rozbicie ułamka się opłaca.

Krok 5. Wartość w punkcie. Dla $x = 4$: $\sqrt{4} = 2$, więc

$$f'(4) = \frac{5 \cdot 64 - 16 - 2}{2 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{302}{16} = \frac{151}{8}.$$

Odpowiedź. $f'(x) = \dfrac{5x^3 - 4x - 2}{2x\sqrt{x}}$, $f'(4) = \dfrac{151}{8} = 18{,}875$.