Deltoid z kątami 120° i 60° przy osi symetrii, bok 6 - przekątne, pole i obwód

Krok 1. Kąty $B$ i $D$. Prosta $AC$ jest osią symetrii, więc $|\angle B| = |\angle D|$. Z sumy kątów czworokąta:

$120^\circ + 60^\circ + 2\beta = 360^\circ \quad\Longrightarrow\quad \beta = 90^\circ.$

Krok 2. Oś połowi kąty. Przekątne przecinają się pod kątem prostym w punkcie $S$, a oś $AC$ dzieli kąt $A$ na dwa kąty po $60^\circ$ i kąt $C$ na dwa kąty po $30^\circ$.

Krok 3. Trójkąt $ASD$. Ma kąty $90^\circ$ przy $S$, $60^\circ$ przy $A$ i przeciwprostokątną $|AD| = 6$:

$|AS| = 6 \cos 60^\circ = 3, \qquad |SD| = 6 \sin 60^\circ = 3\sqrt{3}.$

Stąd przekątna $|BD| = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

Krok 4. Trójkąt $CSD$. Ma kąt $30^\circ$ przy $C$ i przyprostokątną $|SD| = 3\sqrt{3}$ leżącą naprzeciw tego kąta. Naprzeciw kąta $30^\circ$ leży połowa przeciwprostokątnej:

$|CD| = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}, \qquad |SC| = |SD| \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9.$

Przekątna $|AC| = |AS| + |SC| = 3 + 9 = 12$.

Sprawdzenie: trójkąt $BCD$ ma boki $|CB| = |CD| = 6\sqrt{3}$ i kąt $60^\circ$ między nimi - jest równoboczny, więc rzeczywiście $|BD| = 6\sqrt{3}$.

Krok 5. Pole i obwód.

$P = \frac{|AC| \cdot |BD|}{2} = \frac{12 \cdot 6\sqrt{3}}{2} = 36\sqrt{3}, \qquad L = 2 \cdot 6 + 2 \cdot 6\sqrt{3} = 12 + 12\sqrt{3}.$

Druga droga do pola: kąty $B$ i $D$ są proste, więc deltoid to dwa trójkąty prostokątne $ABC$ i $ADC$ o przyprostokątnych $6$ i $6\sqrt{3}$: $P = 2 \cdot \frac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{2} = 36\sqrt{3}$.

Odpowiedź. $|AC| = 12$, $|BD| = 6\sqrt{3}$, pole wynosi $36\sqrt{3}$, obwód $12 + 12\sqrt{3}$, a $|\angle B| = |\angle D| = 90^\circ$.