Deltoid z kątami prostymi przy B i D, przekątne 25 i 24 - długości boków

Krok 1. Co wiemy o przekątnych. Oś symetrii $AC$ jest prostopadła do $BD$ i dzieli ją na połowy w punkcie $S$, więc $|BS| = 12$. Odcinek $BS$ jest wysokością trójkąta prostokątnego $ABC$ (kąt prosty przy $B$) opuszczoną na przeciwprostokątną $AC$. Oznaczamy $|AS| = x$, $|SC| = y$.

Krok 2. Dwa równania. Pierwsze daje długość przekątnej: $x + y = 25$. Drugie - podobieństwo trójkątów $ASB$ i $BSC$ (oba są prostokątne i mają kąt $\angle SAB = \angle SBC$):

$\frac{|AS|}{|BS|} = \frac{|BS|}{|SC|} \quad\Longrightarrow\quad x \cdot y = 12^2 = 144.$

Krok 3. Równanie kwadratowe. Liczby $x$ i $y$ mają sumę $25$ i iloczyn $144$, więc są pierwiastkami równania $t^2 - 25t + 144 = 0$:

$\Delta = 625 - 576 = 49, \qquad t_1 = \frac{25 - 7}{2} = 9, \qquad t_2 = \frac{25 + 7}{2} = 16.$

Bok $AB$ ma być krótszy, więc $A$ leży bliżej $S$: $x = 9$, $y = 16$.

Krok 4. Boki z twierdzenia Pitagorasa:

$|AB| = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15, \qquad |CB| = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{400} = 20.$

Sprawdzenie w trójkącie $ABC$: $15^2 + 20^2 = 625 = 25^2$ - kąt przy $B$ rzeczywiście jest prosty.

Krok 5. Pole i obwód.

$P = \frac{25 \cdot 24}{2} = 300, \qquad L = 2 \cdot 15 + 2 \cdot 20 = 70.$

Pole można też policzyć jako dwa trójkąty prostokątne $ABC$ i $ADC$: $2 \cdot \frac{15 \cdot 20}{2} = 300$.

Odpowiedź. Boki deltoidu mają długości $|AB| = |AD| = 15$ i $|CB| = |CD| = 20$, pole wynosi $300$, a obwód $70$.