Deltoid o bokach 13 i 20 i przekątnej 24 - druga przekątna i pole

Krok 1. Własność przekątnych deltoidu. Prosta $AC$ jest osią symetrii deltoidu (trójkąty $ABC$ i $ADC$ są przystające - cecha bbb). Dlatego przekątne są prostopadłe, a oś $AC$ dzieli przekątną $BD$ na połowy. Punkt przecięcia przekątnych oznaczamy $S$:

$|BS| = |SD| = \frac{24}{2} = 12.$

Krok 2. Odcinek $AS$ z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $ABS$:

$|AS| = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5.$

Krok 3. Odcinek $SC$ z trójkąta prostokątnego $CBS$:

$|SC| = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16.$

Krok 4. Przekątna $AC$. Deltoid jest wypukły, więc punkt $S$ leży między $A$ i $C$:

$|AC| = |AS| + |SC| = 5 + 16 = 21.$

Krok 5. Pole i obwód. Przekątne są prostopadłe, więc

$P = \frac{|AC| \cdot |BD|}{2} = \frac{21 \cdot 24}{2} = 252, \qquad L = 2 \cdot 13 + 2 \cdot 20 = 66.$

Sprawdzenie: deltoid to dwa przystające trójkąty $ABC$ i $ADC$ o podstawie $AC = 21$ i wysokości $12$, więc $P = 2 \cdot \frac{21 \cdot 12}{2} = 252$.

Częsty błąd: dzielenie na połowy przekątnej $AC$. Na połowy dzieli się tylko przekątna, która nie jest osią symetrii - tu $|AS| = 5 \neq |SC| = 16$.

Odpowiedź. $|AC| = 21$, pole deltoidu wynosi $252$, a obwód $66$.