Pole czworokąta z przekątnych 8 i 10 i kąta 60° między nimi - wzór ½ · d₁ · d₂ · sin φ

Krok 1. Podział na cztery trójkąty. Przekątne przecinają się w punkcie $S$ i dzielą czworokąt na trójkąty $ABS$, $BCS$, $CDS$, $DAS$. Oznaczmy $|AS| = p$, $|SC| = 8 - p$, $|BS| = q$, $|SD| = 10 - q$. Każdy z tych trójkątów ma przy $S$ kąt $60^\circ$ albo $120^\circ$, a $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ$, więc pole każdego to „połowa iloczynu boków razy sinus”:

$P = \tfrac{1}{2}\sin 60^\circ \cdot \big(pq + q(8 - p) + (8 - p)(10 - q) + (10 - q)p\big).$

Krok 2. Porządkujemy nawias. Grupujemy wyrazy z $q$ i z $10 - q$:

$q\big(p + (8 - p)\big) + (10 - q)\big((8 - p) + p\big) = 8q + 8(10 - q) = 8 \cdot 10.$

Wynik nie zależy od tego, w którym miejscu przekątne się przecinają. Dostajemy wzór dla każdego czworokąta wypukłego:

$P = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin\varphi.$

Krok 3. Punkt a).

$P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin 60^\circ = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \approx 34{,}64.$

Krok 4. Punkt b). Przy stałych przekątnych pole zależy tylko od $\sin\varphi$, a sinus kąta z przedziału $(0^\circ, 180^\circ)$ jest największy dla $\varphi = 90^\circ$, gdy $\sin\varphi = 1$:

$P_{\max} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot 1 = 40.$

To przypadek przekątnych prostopadłych - wtedy wzór przechodzi w znany wzór $\frac{d_1 d_2}{2}$ na pole rombu i deltoidu.

Odpowiedź. a) $P = 20\sqrt{3}$. b) Największe pole to $40$ - gdy przekątne są prostopadłe.