Czworokąt o bokach 3, 4, 12, 13 z kątem prostym - pole trapezoidu przez podział przekątną

Szkoła średnia średnie

W czworokącie wypukłym $ABCD$ boki mają długości $|AB| = 3$ , $|BC| = 4$ , $|CD| = 12$ i $|DA| = 13$ , a kąt przy wierzchołku $B$ jest prosty. Oblicz pole i obwód czworokąta.

Czworokąt ABCD: AB = 3, BC = 4, CD = 12, DA = 13, kąt przy wierzchołku B jest prosty.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Dlaczego nie ma gotowego wzoru. Ten czworokąt nie jest ani trapezem, ani deltoidem - to trapezoid. Pole liczymy więc tak, jak każdego wielokąta: dzielimy go przekątną na trójkąty.

Krok 2. Przekątna $AC$ . W trójkącie prostokątnym $ABC$ :

$|AC| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.$

Krok 3. Trójkąt $ACD$ jest prostokątny. Ma boki $5$ , $12$ , $13$ i

$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2.$

Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa kąt przy wierzchołku $C$ (naprzeciw boku $13$ ) jest prosty.

Przekątna AC = 5 dzieli czworokąt na trójkąty prostokątne ABC (pole 6) i ACD (pole 30).

Krok 4. Pole. Sumujemy pola dwóch trójkątów prostokątnych (połowa iloczynu przyprostokątnych):

$P = P_{ABC} + P_{ACD} = \frac{3 \cdot 4}{2} + \frac{5 \cdot 12}{2} = 6 + 30 = 36.$

Krok 5. Obwód.

$L = 3 + 4 + 12 + 13 = 32.$

Częsty błąd: liczenie pola ze wzoru na pole trapezu albo „boku razy bok”. Bez równoległych boków żaden wzór czworokąta szczególnego tu nie działa - pewna jest tylko suma pól trójkątów.

Odpowiedź. Pole czworokąta wynosi $36$ , a obwód $32$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →